Talföljder och talmönster

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, en uppräkning av tal i en viss ordning. Att en talföljd är en följd av tal innebär att det, till skillnad från mängder, spelar roll i vilken ordning talen förekommer. Till exempel är talföljderna 1, 2, 3 respektive 3, 2, 1 två helt olika talföljder, medan mängderna {1, 2, 3} respektive {3, 2, 1} är identiska mängder. Ett mönster kan bestå av tal, t.ex. 4, 5, 6, 4, 5, 6. Det som skiljer ett mönster från en talföljd är att i ett mönster kan talen ersättas av former. Vi talar då om geometriska mönster. Här kommer vi att gå in närmare på några olika talföljder och mönster. Välkommen till Majema!

Eleverna kan redan tidigt börja arbeta med talföljder av heltal, som 1, 3, 5, 7, … Punkterna betyder att talföljden fortsätter och är oändlig. Låt dem själva försöka komma på hur talföljden är uppbyggd! Så småningom blir talföljderna mer avancerade. I den här talföljden är nästa tal summan av de två föregående: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Talföljder kan beskrivas med algebraiska uttryck. Med hjälp av ett uttryck kan man ange ett tal långt bak i talserien utan att behöva räkna upp alla tal.
Exempel: Vilket är det 30:e talet i serien 3, 6, 9, 12, 15 … ? Vi kallar talet vi söker för T, och n är talets nummer i talföljden. Formeln för talföljden blir: T = 3n (eftersom varje tal är 3 mer än talet innan). Det fjärde talet i serien är 3 x 4 = 12. Tal nr 30 blir 3 x 30 = 90.

Mitt i Prick

Mitt i prick är ett heltäckande basläromedel i matematik där eleverna får möta matematikens värld och dess olika begrepp på ett genomtänkt och utvecklande sätt redan i förskoleklass.

Läs mer om Mitt i prick

Talföljder

En talföljd kan vara uppbyggd på olika sätt, till exempel ha konstant steglängd, att varje tal multipliceras med en konstant faktor.
Exempel på Talföljder:

Aritmetisk talföljd är en följd av tal där skillnaden mellan två på varandra följande tal alltid är konstant. I följande exempel fås nästa tal genom att man adderar 3 till varje tal.
Exempel: 2, 5, 8, 11, 14, … En aritmetisk talföljd kan också minska med ett konstant värde, dvs gå från större till mindre tal: 10, 8, 6, 4, 2. Här adderas –2, eller man kan också säga att man subtraherar 2. Skillnaden mellan tal i en aritmetisk talföljd kallas aritmetisk differens (konstant skillnad mellan talen).

Geometrisk talföljd är en följd av tal där kvoten av två på varandra följande tal är konstant.
I följande exempel är den geometriska kvoten 2: 3, 6, 12, 24, 48, … Enklast är att tänka att nästa tal fås genom att man multiplicerar varje tal med 2. Talet 3 är ju kvoten av 6/2, eftersom multiplikation och division hänger ihop. Även geometriska talföljder kan gå från större till mindre tal: 243, 81, 27, 9, 3, 1. Här är den geometriska kvoten 3. Varje tal har delats med 3 för att få nästa tal.

En känd talföljd är Fibonacciföljden. Talen i den fås genom att man adderar de två föregående talen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Fibonaccis talföljd tittar vi närmre på med hjälp av en tydlig illustration på sidan 102 i Mitt i Prick 4A grundbok.

Talmönster

Det som skiljer ett talmönster från en talföljd är att värdena på talen i en talföljd är av stor vikt, vilket de inte är när det gäller mönster. Här handlar det mer om med vilken regelbundenhet talen upprepas, hur de bildar ett mönster. Talen skulle kunna bytas ut mot till exempel geometriska figurer i olika färger.
Exempel: 4, 6, 4, 6, 4, 6, …
Det här geometriska mönstret har samma struktur: △ O △ O △ O …

Geometriska mönster

Geometriska mönster är figurer som konstrueras enligt ett visst mönster. Alla talföljder, talmönster och geometriska mönster kan uttryckas med algebraiska uttryck. Men i början arbetar eleverna med att identifiera mönster, förstå hur det är uppbyggda, fortsätta mönstret och skapa egna. Använd gärna utklippta geometriska former i olika färger, låt eleverna lägga egna mönster, limma fast eller rita av dem, och sedan beskriva hur de är uppbyggda.

I Mitt i Prick 1B grundbok på sidan 60 skriver eleverna ut regeln för talföljderna och fyller i talen och de geometriska figurer som saknas.

I Mitt i Prick 2A grundbok får eleven på sidorna 46–47 jobba med flera olika talföljder.
På sidan 46 får de tänka ut vilken regel som gäller för talföljden i fråga och sedan skriva talen som saknas i talföljden, samt påbörja en talföljd som en klasskamrat sedan ska lösa.
På sidan 47 ska eleverna komma på regeln för talföljden och sedan fortsätta rita rutmönster. Här får de möjlighet att själva börja på ett rutmönster, för att sedan låta en klasskamrat knäcka koden.

Ladda ner

Talföljder övningar

Genom att låta eleverna vara med och skapa talföljder får de möjlighet att upptäcka vad som kännetecknar olika talföljder. Att eleverna får beskriva med ord hur de har gått tillväga för att fortsätta en talföljd ökar förståelsen för vad talföljder är och hur de kan vara uppbyggda. Välj talföljder på den nivå som passar elevgruppen och be eleverna:

Berätta om talföljden.
Beskriv vilken regel gäller för talföljden.
Berätta hur du tänkte och vad du såg när du kom på regeln.

Här är några exempel på talföljder som eleverna kan jobba med enligt ovanstående:

3, 7, 11, 19, 23 Konstant steglängd, ändlig.
1, 3, 5, 7, 9, 11 … Aritmetisk, oändlig.
12, 9, 6, 3 Aritmetisk, ändlig.
4, 8, 16, 32, 64 Geometrisk, ändlig.
1, 1, 2, 3, 5 … Fibonaccis, oändlig.
1, 0, 2, 1, 3, 2 … –1 +2 varannan, oändlig.

Lycka till med talföljder och mönster!

Vi har här gått igenom olika slags talföljder, talmönster och geometriska mönster. Att arbeta med talföljder och ”knäcka koden” brukar många tycka är roligt. Elever som lätt ser struktur och mönster kan gå vidare med svårare talföljder, medan de som har svårare att se hur talföljderna är uppbyggda kan arbeta med enklare varianter. Det får inte bli för svårt för snabbt! Att arbeta med geometriska mönster brukar också vara uppskattat och kan, precis som med symmetri, göras i samarbete med bildämnet. Passa också på att träna elevernas språkliga förmåga genom att de får beskriva sina talföljder och mönster med ord.
Vi hoppas att texten här och våra läromedel är till hjälp och ger inspiration till arbetet med eleverna. Väl mött hos oss på Majema!